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Lista de Fórmulas de Matemática
Classificação de Triângulos
Quanto aos ladosEquiláteroEquiláteroTem os três lados iguais
IsóscelesIsóscelesTem dois lados iguais
EscalenoEscalenoTem os três lados diferentes
Quanto aos ângulosObtusânguloObtusânguloTem um ângulo obtuso
RetânguloRetânguloTem um ângulo reto
AcutânguloAcutânguloTem todos os ângulos agudos
Poupa a natureza, imprime apenas se for realmente necessário!
Áreas
Quadradoquadrado`A=l^2``l` : lado
Retânguloretangulo`A=cxxl``c` : comprimento
`l` : largura
Triângulotriangulo`A=(bxxh)/2``b` : base
`h` : altura
Losangolosango`A=(Dxxd)/2``D` : diagonal maior
`d` : diagonal menor
Trapéziotrapezio`A=(B+b)/2xxh``B` : base maior
`b` : base menor
`h`: altura
Polígno Regularpoligno regular`A=P/2xxa``P` : perímetro
`a` : apótema
Círculocirculo`A=pir^2`
`P=2pir`
`r` : raio
`P` : perímetro
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Volumes
Cubocubo`V=l^3``l`: lado
Paralelepípedoparalelipipedo`V=cxxlxxh``c`: comprimento
`l`: largura
`h`: altura
Prisma Regularprisma`V=A_bxxh``A_b`: área da base
`h`: altura
Cilindrocilindro`V=pir^2xxh``r`: raio da base
`h`: altura
Cone (ou pirâmide)cone`V=1/3A_bxxh``A_b`: área da base
`h`: altura
Esferaesfera`A=4/3pir^3``r`: raio
Poupa a natureza, imprime apenas se for realmente necessário!Imprimir Fórmulas
Equações do 2º grau
Quadrado da Soma`(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2`ex : `(2x+3)^2=(2x)^2 + 2*2x*3 +3^2=4x^2 + 12x + 9`
Diferença de Quadrados`(a-b)(a+b)=a^2 - b^2`ex : `(x-2)(x+2)=x^2 - 2^2=x^2 - 4`
Lei do Anulamento do Produto`AxxB=0 hArr A=0 vv B=0`ex : `(x+2)xx(x-1)=0 hArr `
`x+2=0 vv x-1=0 hArr x=-2 vv x=1`
`ax^2+bx+c=0`Fórmula Resolvente`x=(-b +- sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)`
Concavidade voltada para cima`a > 0`
Concavidade voltada para baixo`a < 0`
Binómio Discriminante`Delta = b^2 - 4ac`
Vértice da Parábola`V((-b)/(2a),(-Delta)/(4a))`
`y=a(x-h)^2+k`Concavidade voltada para cima`a > 0`
Concavidade voltada para baixo`a < 0`
Vértice da Parábola`V(h, k)`
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Potências
Produto`a^mxxa^n=a^(m+n)`ex : `3^5xx3^2=3^(5+2)=3^7`
`a^mxxb^m=(axxb)^m`ex : `3^5xx2^5=(3xx2)^5=6^5`
Quociente`a^m-:a^n=a^(m-n)`ex : `3^7-:3^2=3^(7-2)=3^5`
`a^m-:b^m=(a-:b)^m`ex : `6^5-:2^5=(6-:2)^5=3^5`
ex : `5^3-:2^3=(5/2)^3`
Potência de Potência`(a^m)^p=a^(mxxp)`ex : `(5^2)^3=5^(2xx3)=5^6`
Expoente Nulo`a^0=1`ex : `8^0=1`
Expoente Negativo`a^-n=(1/a)^n`ex : `3^-2=(1/3)^2`
ex : `(2/3)^-4=(3/2)^4`
Expoente Fracionário`a^(p/q)=root(q)(a^p)`ex : `2^(4/3) = root(3)(2^4)`
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Radicais
Multiplicação`root(n)(x)xxroot(n)(y)=root(n)(x xx y)`ex : `root(3)(2)xxroot(3)(5)=root(3)(2xx5) hArr root(3)(10)`
Divisão`root(n)(x)-:root(n)(y)=root(n)(x/y)`ex : `root(4)(8)-:root(4)(3)=root(4)(8/3)`
Adição`a root(n)(x)+-b root(n)(x)=(a+-b)root(n)(x)`ex : `4root(3)(5)-2root(3)(5)=(4-2)root(3)(5) hArr 2root(3)(5)`
Potenciação`(root(n)(x))^p=root(n)(x^p)`ex : `(sqrt 2)^3=sqrt (2^3) hArr sqrt 8`
Radiciação`root(n)(root(p)(x))=root(n*p)(x)`ex : `root(3)(sqrt 5)=root (3xx2)(5) hArr root(6)(5)`
Potência`root(n)(a^m)=a^(m/n)`ex : `root(3)(4^5)=4^(5/3)`
Simplificar`(root(n)(a))^n=a`ex : `(sqrt(3))^2=3`
`(root(n)(a))^m=root(n)(a^m)`ex : `(sqrt(4))^5=sqrt(4^5)`
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Trigonometria
Razões Trigonométricastriangulo retangulo`sin alpha=(cat. op.)/ (hip.)``cat. op.`: cateto oposto
`hip.`: hipotenusa
`cos alpha=(cat. adj.)/(hip.)``cat. adj.`: cateto adjacente
`hip.`: hipotenusa
`tan alpha=(cat. op.)/(cat. adj.)``cat. op.`: cateto oposto
`cat. adj.`: cateto adjacente
Fórmulas Fundamentais`sin^2 alpha + cos^2 alpha=1``tan alpha=(sin alpha)/(cos alpha)``tan^2 alpha + 1 = 1/(cos^2 alpha)`
Valores Exactos`sin (pi/6)=1/2``cos (pi/6)=sqrt(3)/2``tan (pi/6)=sqrt(3)/3`
`sin (pi/4)=sqrt(2)/2``cos (pi/4)=sqrt(2)/2``tan (pi/4)=1`
`sin (pi/3)=sqrt(3)/2``cos (pi/3)=1/2``tan (pi/3)=sqrt(3)`
Relações entre Ângulos`sin (-alpha)=-sin alpha``cos (- alpha)=cos alpha``tan (-alpha)=-tan alpha`
`sin (-alpha)=-sin alpha``cos (-alpha)=cos alpha``tan (-alpha)=-tan alpha`
`sin (pi - alpha)=sin alpha``cos (pi - alpha)=-cos alpha``tan (pi - alpha)=-tan alpha`
`sin (pi + alpha)=-sin alpha``cos (pi + alpha)=-cos alpha``tan (pi + alpha)=tan alpha`
`sin (pi/2 - alpha)=cos alpha``cos (pi/2 - alpha)=sin alpha``tan (pi/2 - alpha)=1/(tan alpha)`
`sin (pi/2 + alpha)=cos alpha``cos (pi/2 + alpha)=-sin alpha``tan (pi/2 + alpha)=-1/(tan alpha)`
`sin ((3pi)/2 - alpha)=-cos alpha``cos ((3pi)/2 - alpha)=-sin alpha``tan ((3pi)/2 - alpha)=1/(tan alpha)`
`sin ((3pi)/2 + alpha)=-cos alpha``cos ((3pi)/2 + alpha)=sin alpha``tan ((3pi)/2 + alpha)=-1/(tan alpha)`
Equações Trigonométricas`sin x=sin alpha hArr x = alpha + 2kpi vv x = pi - alpha + 2kpi, k in ZZ `
`cos x=cos alpha hArr x = alpha + 2kpi vv x = - alpha + 2kpi, k in ZZ `
`tan x=tan alpha hArr x = alpha + kpi, k in ZZ `
Expressão da Soma`sin (a+b)=sin a xx cos b + sin b xx cos a`
`cos (a+b)=cos a xx cos b - sin a xx sin b`
`tan (a+b)=(tan a + tan b) / (1 - tan a xx tan b)`
Expressão da Diferença`sin (a-b)=sin a xx cos b - sin b xx cos a`
`cos (a-b)=cos a xx cos b + sin a xx sin b`
`tan (a-b)=(tan a - tan b) / (1 + tan a xx tan b)`
Expressão da Duplicação`sin (2a)=2xxsin a xx cos a`
`cos (2a)=cos ^2 a - sin^2 a`
`tan (2a)=(2 xx tan a) / (1 - tan^2 a)`
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Geometria
Fórmula de Euler`F + V = A + 2``F`: Nº de Faces
`V`: Nº de Vértices
`A`: Nº de Arestas
Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Regular`S_i=(n-2)*180º``n`: Nº de Lados
Teorema de Pitágoras`H^2=C_1^2+C_2^2`Hipotenusa: `H`
Catetos: `C_1` e `C_2`
Distância entre dois Pontos`bar (AB)=sqrt((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2)`ex: `A(8,2)` e `B(4,-1)`
`bar (AB)=sqrt((8-4)^2+(2+1)^2) hArr`
`bar(AB)=sqrt(16+9) hArr bar(AB)=5`
Ponto Médio`M((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)`ex: `A(2,6)` e `B(4,-2)`
`M((2+4)/2,(6-2)/2) hArr M(3,2)`
Equação da RetaEq. Reduzida
Declive: `m`, Ordenada na Origem: `b`
`y=mx+b`
Eq. Vetorial
Vetor Diretor: `vec u(u_1,u_2,u_3)`
Ponto da reta`(x_0,y_0,z_0)`
`(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+k(u_1,u_2,u_3), k in RR`
Eq. Cartesiana
Vetor Diretor: `vec u(u_1,u_2,u_3)`
Ponto da reta`(x_0,y_0,z_0)`
`(x - x_0)/u_1=(y - y_0)/u_2=(z - z_0)/u_3`
Eq. Paramétrica
Vetor Diretor: `vec u(u_1,u_2,u_3)`
Ponto da reta`(x_0,y_0,z_0)`
`{(x = x_0 + Ku_1),(y = y_0 + Ku_2),(z = z_0 + Ku_3.):}, k in RR`
Equação do PlanoEq. Cartesiana
Vetor Normal: `vec u(n_1,n_2,n_3)`
Ponto do plano`(x_0,y_0,z_0)`
`n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0`
Eq. Geral
vetor normal: `vec u(n_1,n_2,n_3)`
`n_1x + n_2y + n_3z +d = 0 `
Equação da CircunferênciaCentro `(x_0,y_0)` e raio `r``(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2`
Equação da Superfície EsféricaCentro `(x_0,y_0,z_0)` e raio `r``(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2`
Equação da ElipseCentro `(h, k)` e semi-eixos `a` e `b``((x-h)/a)^2+((y-k)/b)^2=1`
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Vetores
Diferença de Pontos`vec(AB)=B - A = (b_1-a_1,b_2-a_2)`ex : `A(3,2)` e `B(4,5)`
`vec(AB)=(4,5)-(3,2)=(4-3,5-2)=(1,3)`
Norma`||vec u||=sqrt((u_1)^2 + (u_2)^2)`ex : `vec u(3,2)`
`||vec u||=sqrt(3^2+2^2) hArr ||vec u||=sqrt 13`
Quadrado escalar`(vec u)^2 = ||vec u||^2`ex : `vec u(4,3)` e `||vec u||=5` logo `(vec u)^2 = 5^2`
Operações Aritméticas`A+vec u=(a_1+u_1, a_2+u_2)`ex : `A(4,5)` e `vec u(3,2)`
`A+vec u=(4+3, 5+2) hArr A+vec u=(7, 7)`
`vec u+vec v=(u_1+v_1, u_2+v_2)`ex : `vec u(6,3)` e `vec u(2,1)`
`vec u+vec v=(6+2, 3+1) hArr vec u+vec v=(8, 4)`
`kxxvec u=(kxxu_1, kxxu_2)`ex : `k=2` e `vec u(3,4)`
`kxxvec u=(2xx3, 2xx4) hArr kxxvec u=(6, 8)`
Produto Escalar ou Produto Interno`vec u.vec v=u_1xxv_1+u_2xxv_2`ex : `vec u(2,1)` e `vec v(0,3)`
`vec u.vec v=2xx0+1xx3`
`vec u.vec v=3`
`vec u.vec v=||vec u||xx||vec v||xxcos(vec u \^ vec v)`
Ângulo de duas retasvetores diretores das retas: `vec u` e `vec v`
ângulo formado: `alpha`
`cos alpha=|vec u.vec v|/(||vec u||xx||vec v||)`
Para utilizar os conceitos anteriores no espaço, basta acrescentar uma terceira coordenada.
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Derivadas
Taxa Média de VariaçãoTMV no Intervalo `[a,b]``TMV=(f(b)-f(a))/(b-a)`
Taxa de Variação num Ponto`f'(x_0)=lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)``f'(x_0)=lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h`
Constante`a'=0`ex : `4'=0`
Produto`(mx)'=m`ex : `(3x)'=3`
Potência de expoente natural`(u^n)'=nxxu^(n-1)xxu'`ex : `((6x)^5)'=5(6x)^4xx(6x)'=5(6x)^4xx6`
Potência de base real`(a^u)'=u'xxa^uxxln a`ex : `(7^(3x))'=3xx7^(3x)xxln7`
Soma de funções`(u+v)'=u'+v'`ex : `(2x+5)'=(2x)'+5'=2`
Produto de funções`(uxxv)'=u'v + uv'`ex : `(x^2xxe^x)=(x^2)'e^x+x^2(e^x)'=2xe^x+x^2e^x`
Quociente de funções`(u/v)'=(u'v - uv')/v^2`ex : `((x+1)/(2x))' = ((x+1)'xx(2x) - (x+1)xx(2x)')/(2x)^2`
Seno`(sin u)'=u'xxcosu`ex : `(sin(6x))'=6xxcos(6x)`
Coseno`(cos u)'=-u'xxsinu`ex : `(cos(3x))'=-3xxsin(3x)`
Tangente`(tan u)'=(u')/(cos^2u)`ex : `(tan(x))'=1/(cos^2x)`
Logarítmica`(log_a u)'=(u')/(uxxln a)`ex : `(ln (5x))'=((5x)´)/(5xln e)=5/(5x)=1/x`
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Sucessões
Progressões AritméticasRazão`r = u_(n+1) - u_n`
Termo Geral`u_n=u_1+(n-1)r`
MonotoniaCrescente se `r>0`
Decrescente se `r<0`
Soma dos termos`S_n=(u_1+u_n)/2xxn`
Progressões GeométricasRazão`r = u_(n+1) / u_n`
Termo Geral`u_n=u_1xxr^(n-1)`
MonotoniaCrescente se `u_1>0 ^^ r>1`
Decrescente se `u_1<0 ^^ r>1`
Não é Monótona se `r<0`
Soma dos termos`S_n=u_1xx(1-r^n)/(1-r)`
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Conjuntos e Probabilidades
Comutativa`A uu B = B uu A``A nn B = B nn A`
Associativa`A uu (B uu C) = A uu (B uu C)``A nn (B nn C) = A nn (B nn C)`
Elemento neutro`A uu O/ = A``A nn E = A`
Elemento absorvente`A uu E = E``A nn O/ = O/`
Distributiva`A uu (B nn C) = (A uu B) nn (A uu C)``A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C)`
Leis de De Morgan`bar(A nn B) = bar(A) uu bar(B)``bar(A uu B) = bar(A) nn bar(B)`
Lei de Laplace`P(A) = text(nº casos favoráveis)/text(nº casos possiveis)`
Acontecimento Contrário`P(bar(A)) = 1 - P(A)`
Reunião de Acontecimentos`P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A nn B)`
Probabilidade Condicionada`P(A | B) = (P(A nn B)) / (P(B))`
Acontecimentos Independentes`P(A | B) = P(A)``P(A nn B) = P(A) xx P(B)`
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Logaritmos
Definição`log_a b = x hArr b=a^x`ex : `3^x=15 hArr x=log_3 15`
`log_a 1 = 0`ex : `log_3 1 = 0`
`log_a a = 1`ex : `log 10 = 1`
`log_a a^b = b`ex : `ln e^2 = 2`
Produto`log_a uxxv = log_a u + log_a v`ex : `log_6 10 + log_6 2 = log_6 20`
Quociente`log_a u/v = log_a u - log_a v`ex : `log_4 9 - log_4 3 = log_4 9/3= log_4 3`
Potenciação`log_a u^v = vxxlog_a u`ex : `log_4 36 = log_4 6^2= 2xxlog_4 6`
Mudança de base`log_a u = (log_b u)/(log_b a)`ex : `log_4 5 xx log_5 6 = log_4 5 xx (log_4 6)/(log_4 5) = log_4 6`
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Limites Notáveis
`lim_(x->+oo) a^x/x^p = +oo`      `(a, p in RR)``lim_(x->+oo) (log_a x) / x = 0`      `(a > 1, a in RR)`
`lim_(x->0) (e^x - 1)/x = 1``lim_(x->0) (ln (x+1)) / x = 1`
`lim_(x->0) sin x/x = 1``lim_(x->+oo) sin x/x = 0`
`lim_(u_n->+oo)(1 + k/(u_n))^(u_n) = e^k``lim (1 + 1/n)^n = e`      `(n in NN)`
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Números Complexos
Forma AlgébricaNúmero Complexo`z = a + bi`
Conjugado`bar z = a -bi`
Simétrico`-z = -a -bi`
Igualdade`a + bi = c + di hArr a = c ^^ b = d`
Adição`(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i`
Subtração`(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i`
Multiplicação`(a+bi)xx(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i`
Divisão`(a+bi)/(c+di)=(a+bi)/(c+di)xx(c−di)/(c−di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc−ad)/(c^2+d^2)i`
Algébrica `rArr` TrigonométricaArgumento`arg(z) = theta``theta = tan^(-1)(b/a)`
Módulo`|z| = rho``rho = sqrt(a^2 + b^2)`
Forma TrigonométricaNúmero Complexo`z = rho . cis(theta)``z = rho . (cos theta + i sin theta)`
Conjugado`bar z = |rho| . cis (-theta)`
Simétrico`-z = |rho| . cis (theta + pi)`
Multiplicação`z_1 = rho_1 . cis(theta_1)`
`z_2 = rho_2 . cis(theta_2)`
`z_1 xx z_2 = rho_1 rho_2 . cis(theta_1 + theta_2)`
Divisão`z_1 / z_2 = rho_1 / rho_2 . cis (theta_1 - theta_2)`
Inverso`z^-1 = 1/z``z^-1 = 1/rho . cis (-theta)`
Fórmula de MoivrePotenciação`z^n = rho^n . cis (n theta)`
Radiciação`root(n)(rho . cis theta) = root(n)(rho) . cis ((theta + 2 k pi)/n), k in {0,...,n-1), n in NN`
Poupa a natureza, imprime apenas se for realmente necessário!Imprimir Fórmulas
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